Apa saja operasi-operasi dalam himpunan akan kita bahas bersama dalam Rumus Matematika kali ini. 

Terdapat beberapa operasi himpunan yang harus kita ketahui, yaitu irisan, gabungan, komplemen, selisih serta beda setangkup. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak bersama penjelasan dari setiap operasi himpunan berikut ini.

IRISAN (INTERSECTION)

Notasi dari irisan dua buah himpunan adalah tanda “∩”. Kita ambil contoh, misalnya A dan B merupakan himpunan yang tidak saling lepas, sehingga A∩B = {x|x∈A dan x∈B}. Pernyataan irisan tersebut jika kita nyatakan dalam diagram Venn yaitu sebagai berikut.Perhatikan contoh berikut.

Misalkan A={1,4,6,8,9} dan B={2,4,6,7} maka A∩B={4,6}.

Misalkan A merupakan himpunan mahasiswi Matematika UI dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (60 tahun keatas), maka A∩B=Ø. Hal ini menunjukan bahwa A dan B saling lepas atau A ⁄ ⁄B.

GABUNGAN (UNION)

Notasi untuk gabungan dua buah himpunan yaitu “∪”. Misalnya A dan B merupakan sebuah himpunan, maka A∪B={x|x∈A atau x∈B}. Yang jika dinyatakan dalam diagram venn sebagai berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Jika A={1,2,5,8,9} dan B={2,3,4,5} maka A∪B={1,2,3,4,5,8,9}

A∪Ø=A

KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalnya A adalah himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan sebagai berikut.

Ac = {x|x∈U dan x∉A}

Perhatikan contoh berikut.

Misalkan U={1,2,3,4,…,9}

Jika A={1,2,4}, maka Ac ={3,5,6,7,8,9}

Jika A={x∈U|x habis dibagi dua}, maka Ac ={1,3,5,7,9}

Bentuk Aljabar

Adi memiliki permen 5 lebih banyak dari permen edi, jika banyaknya permen edi dinyatakan dalam x, maka banyaknya permen Adi adalah (x + 5). bentuk seperti inilah yang dinamakan dengan bentuk aljabar. Dimana bentuk aljabar adalah salah satu bentuk bilangan matematika yang disertai dengan variabel tertentu.

Untuk beberapa kejadian sehari-hari banyak yang dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Misalnya : jumlah harga ketika membeli berbagai jenis buah, banyaknya penggunaan listrik selama satu bulan, banyaknya pelanggan suatu toko, perhitungan ongkos produksi pabrik, dan lain sebagainya. Dengan mempelajari bentuk aljabar, maka kejadian-kejadian tersebut dapat terpecahkan.

Ada beberapa istilah yang akan ditemui dalam bentuk aljabar, antara lain:

1. Variabel

Variabel atau kadang juga disebut peubah adalah lambang yang menggantikan suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Dalam contoh tadi (x + 5), x merupakan variabel.

2. Konstanta

Konstanta adalah sebuah bilangan yang tidak mengandung variabel dan sudah diketahui nilainya dengan jelas. Dalam contoh tadi 5 merupakan konstanta.

3. Suku

Suku adalah konstanta dan variabel pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

-Suku-suku sejenis

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang sama.

Contoh: 2x dan -3x, 5a^2 dan a^2, y dan 4y, …

-Suku tak sejenis

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang tidak sama.

Contoh: 2x dan –3×2, –y dan –x3, 5x dan –2y, …

– Suku satu 

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3x, 2a2, –4xy, …

– Suku dua 

Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3×2 – 4x, …

– Suku tiga 

Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2×2 – x + 1, 3x + y – xy, …

– Suku banyak

Suku banyak adalah Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

Operasi bentuk aljabar.

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada konstantanya.

contoh :

2x + 3x = 5x

3x + 5y = 3x + 5y -> tidak dapat dijumlahkan karena bukan suku yang sejenis

5x - x = 4x -> 1x bisa dituliskan sebagai x saja.

6x - 3y = 6x - 3y -> bukan suku sejenis

(2x + 3y) + (4x + 8y) = 6x + 11y

2. Operasi perkalian

Ingat kembali bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a(b + c)= ab + ac , dan a(b – c) = ab – ac. Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga berlaku.

– Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.

Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut dengan konstanta pada bentuk aljabar.

SOAL PERBANDINGAN  TIDAK SENILAI (BERBALIK NILAI)

Soal seperti ini sering diujikan dalam Ujian Nasional tingkat SMP

 CONTOH SOAL   1

Seorang pemborong menyanggupi suatu proyek selesai oleh 30 orang Pegawai  dalam waktu 24 hari. Setelah 10 hari pekerjaan dilaksanakan karena sesuatu hal, pekerjaan terhenti  selama 4 hari. Supaya pekerjaan proyek tersebut selesai tepat  waktu , berapakah tambahan pegawai  yang diperlukan ?

Cara I

Penyelesaian:

Sisa waktu mengerjakan  proyek  24 – 14 = 10 hari.
Misalkan banyaknya tambahan pegawai  yang diperlukan yaitu  p orang.
30 orang dalam 24 hari dapat menyelesaikan 1 pekerjaan, …………………………….. (1)

Berarti :  
30 orang dalam 1 hari  dapat menyelesaikan  1/24 pekerjaan, maka
30 orang dalam 10 hari dapat menyelesaikan   10/24   pekerjaan.
Jadi pekerjaan proyek yang tersisa   1- 10/24 =  14/24  pekerjaan.

Dengan demikian,

(30+p) orang dalam waktu 10 hari  dapat menyelesaikan 14/24  pekerjaan.
(30+p) orang dalam (10 x 24)/14  hari dapat menyelesaikan 1 pekerjaan  ……………(2)
Hasil kali nilai-nilai pada  pernyataan (1)  dan pernyataan (2) bernilai sama, sehingga

30 x 24 = (30+p) x   (10 x 24)/14

30+p = 3 x 14

(30+p) =   42

P      =   12

Jadi tambahan pegawai yang diperlukan sebanyak 12 orang.

Kata kunci soal tersebut adalah 1 objek pekerjaan yang sama.

 

Cara II

Penyelesaiaan : 

Dengan membuat table hasil kali data soal tersebut. 

Misalkan banyaknya pegawai tambahan adalah  p orang.

Banyaknya Pegawai(orang) Waktu Pengerjaan(Hari) Hasil Kali
30 24 720
30 10 300
(30+p) 10 420

Hasil kali pada baris terakhir sebagai berikut :

                        (30 + p) x 10 =   420

                        (30 + p)           =   42

                                            P   =   12

Jadi banyaknya pegawai tambahan sebanyak  12 orang.                       

   

CONTOH SOAL   2

Mesin pumpa  merk  A dapat mengisi penuh satu  tangki air dengan kapasitas 100 liter

dalam waktu 15 menit. Sedangkan,

Mesin pumpa merk  B dapat mengisi penuh satu   tangki  air dengan kapasitas 200 liter

dalam waktu  24 menit.

Dalam berapa menit dapat terisi penuh satu  tangki dengan kapasitas 100 liter,

 jika  mesin  pompa merk A dan mesin pompa merk B  digunakan bersama-sama.

Cara I

Penyelesaian : 

Mesin pompa merk A  dalam 1 menit dapat mengisi sebuah tangki  dengan volum 100/15  liter.

Mesin pompa merk B  dalam 1 menit dapat mengisi sebuah tangki  dengan volum 100/12  liter.

Jika mesin pompa merk A dan merk B digunakan bersama-sama, maka

dalam  1 menit dapat mengisi tangki(kapasitas 100 l) sebanyak (100/15)+(100/12)x100 liter = (9/60)x 100 liter

Jadi,

Mesin pompa merk A dan B dapat mengisi penuh satu tangki dengan kapasitas  100 liter

dalam waktu 60/9  menit = 6 2/3 menit.